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基爾霍夫電路定律

作者：佚名文章來源：本站原創(chuàng) 點擊數(shù)：更新時間：2011-3-26

基爾霍夫電路定律（Kirchhoff Circuit Laws）簡稱為基爾霍夫定律，指的是兩條電路學(xué)定律，基爾霍夫電流定律與基爾霍夫電壓定律。它們涉及了電荷的守恒及電勢的保守性。1845年，古斯塔夫·基爾霍夫首先提出基爾霍夫電路定律。現(xiàn)在，這定律被廣泛地應(yīng)用于電機工程學(xué)。

從麥克斯韋方程組可以推導(dǎo)出基爾霍夫電路定律。但是，基爾霍夫并不是依循這條思路發(fā)展，而是從格奧爾格·歐姆的工作成果加以推廣得之。

所有進入某節(jié)點的電流的總和等于所有離開這節(jié)點的電流的總和。

所有進入節(jié)點的電流的總和等于所有離開這節(jié)點的電流的總和。對于本圖案例， $i1 + i4 = i2 + i3$ 。

以方程表達，對于電路的任意節(jié)點，

$\sum_{k=1}^n i_k =0$ ；

其中， $ik$ 是第 $k$ 個進入或離開這節(jié)點的電流，是流過與這節(jié)點相連接的第 $k$ 個支路的電流，可以是實數(shù)或復(fù)數(shù)。

基爾霍夫電流定律又稱為基爾霍夫第一定律。由于累積的電荷（單位為庫侖）是電流（單位為安培）與時間（單位為秒）的乘積，從電荷守恒定律可以推導(dǎo)出這條定律。

[編輯] 導(dǎo)引

思考電路的某節(jié)點，跟這節(jié)點相連接有 $n$ 個支路。假設(shè)進入這節(jié)點的電流為正值，離開這節(jié)點的電流為負值，則經(jīng)過這節(jié)點的總電流 $i$ 等于流過支路 $k$ 的電流 $ik$ 的代數(shù)和：

$i=\sum_{k=1}^n i_k$ 。

將這方程積分于時間，可以得到累積于這節(jié)點的電荷的方程：

$q=\sum_{k=1}^n q_k$ ；

其中， $q=\int_0^t i(t') \mathrm9tr3td3t'$ 是累積于這節(jié)點的總電荷， $q_k=\int_0^t i_k(t') \mathrm9hzvrpjt'$ 是流過支路 $k$ 的電荷， $t$ 是檢驗時間， $t'$ 是積分時間變量。

假設(shè) $q > 0$ ，則正電荷會累積于節(jié)點；否則，負電荷會累積于節(jié)點。根據(jù)電荷守恒定律， $q$ 是個常數(shù)，不能夠隨著時間演進而改變。由于這節(jié)點是個導(dǎo)體，不能儲存任何電荷。所以， $q = 0$ 、 $i = 0$ ，基爾霍夫電流定律成立：

$\sum_{k=1}^n i_k =0$ 。

[編輯] 含時電荷密度

從上述推導(dǎo)可以看到，只有當(dāng)電荷量為常數(shù)時，基爾霍夫電流定律才會成立。通常，這不是個問題，因為靜電力相斥作用，會阻止任何正電荷或負電荷隨時間演進而累積于節(jié)點，大多時候，節(jié)點的凈電荷是零。

不過，電容器的兩會導(dǎo)板可能會允許正電荷或負電荷的累積。這是因為電容器的兩塊導(dǎo)板之間的空隙，會阻止分別累積于兩塊導(dǎo)板的異性電荷相遇，從而互相抵消。對于這狀況，流向其中任何一塊導(dǎo)板的電流總和等于電荷累積的速率，而不是零。但是，若將位移電流 $\mathbf{J}_D$ 納入考慮，則基爾霍夫電流定律依然有效。詳盡細節(jié)，請參閱條目位移電流。只有當(dāng)應(yīng)用基爾霍夫電流定律于電容器內(nèi)部的導(dǎo)板時，才需要這樣思考。若應(yīng)用于電路分析（circuit analysis）時，電容器可以視為一個整體元件，凈電荷是零，所以原先的電流定律仍適用。