邏輯代數(shù)中，用以描述邏輯關(guān)系的函數(shù)稱為邏輯函數(shù)。前面討論的與、或、非、與非、或非、異或都是邏輯函數(shù)。邏輯函數(shù)是從生活和生產(chǎn)實(shí)踐中抽象出來(lái)的，但是只有那些能明確地用“是”或“否”作出回答的事物，才能定義為邏輯函數(shù)。

1、邏輯函數(shù)的建立

例如，3個(gè)人表決一件事情，結(jié)果按“少數(shù)服從多數(shù)”的原則決定，試建立邏輯函數(shù)。

將實(shí)際問(wèn)題中的邏輯關(guān)系表達(dá)為邏輯函數(shù)，需要以下3個(gè)步驟。

第一步：定義自變量和因變量。將3個(gè)人的意見(jiàn)設(shè)置為自變量A、B、C，并規(guī)定只能有同意或不同意兩種意見(jiàn)。將表決結(jié)果設(shè)置為因變量Y，顯然也只有通過(guò)或不通過(guò)兩種情況。

第二步：定義變量狀態(tài)的邏輯取值。對(duì)于自變量A、B、C，設(shè)：同意為邏輯“1”，不同意為邏輯“0”。對(duì)于因變量Y，設(shè)：表決通過(guò)為邏輯“1”，沒(méi)通過(guò)為邏輯“0”。

第三步：根據(jù)題意及上述規(guī)定列寫(xiě)邏輯函數(shù)（真值表如表1所示）。

表1 真值表

由真值表可以看出，當(dāng)自變量A、B、C取值確定后，因變量Y的值就完全確定了。所以，Y就是A、B、C的函數(shù)。A、B、C常稱為輸入邏輯變量，Y稱為輸出邏輯變量。

一般地說(shuō)，若輸出邏輯變量A、Ｂ、C、…的取值確定以后，輸出邏輯變量Y的值也就唯一地確定了，就稱Y是A、B、C、…的邏輯函數(shù)，寫(xiě)作

(1)

邏輯函數(shù)與普通代數(shù)中的函數(shù)相比較，有兩個(gè)突出的特點(diǎn)。

①邏輯變量和邏輯函數(shù)只能取兩個(gè)值0和1。

②函數(shù)和變量之間的關(guān)系是由“與”、“或”、“非”3種基本運(yùn)算決定的。

邏輯函數(shù)通常有四種表示方法，即真值表、函數(shù)表達(dá)式、邏輯圖和卡諾圖。先介紹前3種表示方法，卡諾圖的方法在邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)章節(jié)中詳細(xì)介紹。下面結(jié)合一個(gè)實(shí)例來(lái)講解。

例如，如圖1所示，有一個(gè)T形走廊，在相會(huì)處有一盞路燈，在進(jìn)入走廊的A、B、C三地各有一個(gè)控制開(kāi)關(guān)，都能獨(dú)立地進(jìn)行控制。

圖1 三地控制一燈示意圖

控制要求：

任意閉合一個(gè)開(kāi)關(guān)，燈亮；

任意閉合兩個(gè)開(kāi)關(guān)，燈滅；

3個(gè)開(kāi)關(guān)同時(shí)閉合，燈亮。

要求列寫(xiě)邏輯函數(shù)Y。

設(shè)A、B、C代表3個(gè)開(kāi)關(guān)（輸入變量），開(kāi)關(guān)閉合狀態(tài)為“1”，斷開(kāi)狀態(tài)為“0”；燈亮Y（輸出變量）為“1”，燈滅“0”。

（1）真值表

真值表是將輸入邏輯變量的各種可能取值和相應(yīng)的函數(shù)值排列在一起而組成的表格。按照上述邏輯要求，可以列出邏輯真值表（見(jiàn)表2）。www.diks.com.cn

表2 三地控制一燈邏輯真值表

輸入變量的取值組合數(shù)隨著輸入變量個(gè)數(shù)不同而不同：兩個(gè)輸入變量的取值組合有4種；3個(gè)輸入變量的取值組合有8種；……；如果有n個(gè)輸入變量，則有2ⁿ種取值組合。為避免遺漏，各變量的取值組合應(yīng)按照二進(jìn)制遞增的次序排列。

從表2可以看出，用真值表表示邏輯函數(shù)有以下特點(diǎn)。

①直觀明了，輸入變量取值一旦確定后，即可在真值表查出相應(yīng)的函數(shù)值。

②把一個(gè)實(shí)際的邏輯問(wèn)題抽象成一個(gè)邏輯函數(shù)時(shí)，使用真值表是最方便的。所以，再設(shè)計(jì)邏輯電路時(shí)，總是先根據(jù)設(shè)計(jì)要求列出真值表。

③真值表的缺點(diǎn)是，當(dāng)變量比較多，表比較大，顯得過(guò)于繁瑣。

（2）函數(shù)表達(dá)式

函數(shù)表達(dá)式就是由邏輯變量和“與”、“或”、“非”3種運(yùn)算符所構(gòu)成的表達(dá)式。邏輯函數(shù)表達(dá)式可根據(jù)真值表寫(xiě)出，如表2所示。

方法：在真值表一次找出函數(shù)值等于1的變量取值組合，寫(xiě)出與該取值組合對(duì)應(yīng)的自變量乘積項(xiàng)。“1”寫(xiě)成原變量，“0”寫(xiě)成反變量。然后把這些乘積相加，就得到相應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式了。

根據(jù)表2所示邏輯真值表寫(xiě)出邏輯函數(shù)表達(dá)式為

(2)

用邏輯函數(shù)表達(dá)式表示邏輯函數(shù)，便于研究邏輯電路，通過(guò)對(duì)邏輯函數(shù)式的化簡(jiǎn)，可以簡(jiǎn)化邏輯電路。缺點(diǎn)：邏輯函數(shù)式所表達(dá)式的邏輯關(guān)系不直觀。

（3）邏輯圖

邏輯圖就是由邏輯圖形符號(hào)及其之間的連線而構(gòu)成的圖形。由函數(shù)表達(dá)式可以畫(huà)出其相應(yīng)的邏輯圖。

方法：根據(jù)邏輯函數(shù)表達(dá)式中個(gè)邏輯變量運(yùn)算的優(yōu)先級(jí)順序畫(huà)出邏輯電路圖。

在邏輯函數(shù)表達(dá)式（2）中，優(yōu)先級(jí)最高的是非運(yùn)算，其次是與運(yùn)算，最后是或運(yùn)算。根據(jù)該優(yōu)先級(jí)順序依次畫(huà)出邏輯圖（見(jiàn)圖2）。